Prosopopea

Seguono tutti i cammini di Levy (forse).

Ero tentato di chiudere il post così, dopo due-righe-due, ma poi la mia mamma ci sarebbe rimasta male che non gli spiegavo le cose. E questo articolo è ancora più ostico del normale da farle capire, visto che tira fuori i videogiochi (gasp!) e la matematica (stragasp!) oltre alla mia solita prosopopea.

E già normalmente la conversazione media con mia madre, parlando di quello che scrivo, va più o meno così:

” Oh, ho letto il tuo articolo!”
” Bene! Ti è piaciuto?”
” Si, tantissimo, però non ci ho capito niente.”

Che per uno che gioca a provare a far per finta il divulgatore è una pugnalata. Come dire a un rugbista ” oh sei bravo, ma se passi in avanti arrivi prima in meta, eh.”.  Ovviamente la colpa è solo e soltanto mia, che non mi so spiegare, e quindi per questo articolo moltiplicherò i miei sforzi.

Dunque, dicevamo, il cammino di Levy. Cos’è, e che c’entrano le varie bestie del titolo?

Le varie bestie del titolo hanno un problema: procacciarsi il cibo in un ambiente più o meno sconosciuto. Devono trovare dei fiori, o una preda o selvaggina, possibilmente con il massimo del guadagno e il minimo dello sforzo.

L’ ape esce dall’alveare e esplora un campo. Normalmente, usando il suo potente olfatto, trova indizi e indicazioni su dove dirigersi, ma stavolta non c’è nessuno stimolo particolarmente interessante. Che fare?  Si può muovere totalmente a caso, come un granello di polline sulla superficie dell’acqua. Qualsiasi direzione, va bene uguale, e quanto andare in ciascuna direzione segue una gaussiana: distanze particolarmente lunghe o particolarmente brevi saranno percorse meno spesso rispetto a distanze intermedie, più frequenti.

Augochloropsis metallica, una bellissima ape “del sudore”. Si orienta con il suo ultra-sensibile olfatto, che però a volte la porta a seguire false tracce, come quando segue il sudore umano, da cui è stranamente attratta. Photocredits: USGS

Ma andare totalmente a caso è la soluzione migliore?

Uno squalo, alla ricerca delle sue prede, segue una gran varietà di stimoli. Grazie a degli organi specifici, le ampolle di Lorenzin, gli squali sentono i campi elettromagnetici, come i Jedi sentono la Forza. Ma l’oceano è vasto e con la pesca selvaggia l’abbiamo praticamente desertificato: lo squalo deve vagare in lungo e in largo per cercare cibo. Andare a caso sarebbe proficuo?

Sì dà il caso che sia api che squali seguano una particolare strategia per muoversi in cerca di cibo: seguono il cammino di Levy, che, tecnicamente, è una traiettoria che invece di avere una distribuzione di probabilità gaussiana, è iperbolica e “heavy tailed”, con le code pesanti. Spacchettiamo che cosa vuol dire:

In matematica, quello che fanno le api e gli squali sopracitati, muoversi in direzioni casuali con passi di lunghezza variabile, si chiama passeggiata (o cammino) aleatoria (random walk in inglese). Ma non tutte le passeggiate casuali sono uguali: anche scegliendo la direzione completamente a caso, magari si preferisce fare passi (dove per passo si intende la distanza coperta prima di cambiare direzione) più lunghi o più brevi; oppure, non tutte le direzioni sono equamente probabili, ma si preferirà tendere in una direzione, come il carrello del supermercato con la ruota mezza rotta (che no, mamma, non è che lo prendi sempre tu, è che ti ricordi le volte in cui lo prendi e ti dimentichi quando va tutto bene).

Nella camminata di Levy, la scelta della direzione e del passo è casuale (come in tutte le passeggiate aleatorio) ma non tutti i risultati sono equamente probabili.

Per capire e visualizzare meglio, inventiamo “un gioco”. (Se fosse e veramente un gioco sarebbe il più noioso di sempre). Avete bisogno di:

– Griglia esagonale
– Un dado
– Un mazzo di carte (40).
– Qualcuno contro cui giocare.

Le regole sono molto semplici: il risultato del dado, da 1 a 6, decide la direzione in cui vi muovete, mentre il numero sulla carta, da l’asso al re, decide la lunghezza del passo.

In un mazzo da 40 carte, ogni valore si ripete 10 volte: se, dopo che pescate, ogni volta ri-infilate la carta pescata e rimescolate il mazzo, la probabilità di pescare ciascun valore sarà facilmente rappresentabile su questo noioso grafico:

La parte competitiva e più “giocosa” di questo “gioco” (che resta comunque indicibilmente noioso) viene quando il vostro avversario segna, sulla griglia, dei punti che dovete raggiungere (e voi, naturalmente, fate lo stesso con lui). Per migliorare le vostre chance di vittoria, non potete scegliere direzione o direttamente scegliere una carta, ma potete cambiare la composizione del mazzo.

Nei giochi da tavolo seri/divertenti, questa meccanica si chiama deckbuilding (costruzione del mazzo); uno dei più popolari è sicuramente Dominion, di cui tra l’altro è uscita da poco una versione online che potete provare (invece del gioco più noioso di sempre). Che cambia cambiando la composizione del mazzo? Cambia che la probabilità di pescare ciascun valore varia, e così varia anche la vostra traiettoria probabile. Cambiando il mazzo, per tornare al discorso principale, cambiate il vostro tipo di passeggiata aleatoria.  Il mazzo base, con le distanze di tutti i passi e le direzioni equiprobabili, approssima più o meno un moto browniano; se decidete di diminuire il numero di  carte per i valori dal cinque al Jack e raddoppiare il numero delle altre carte, avrete una vaga approssimazione di una passeggiata aleatoria che segue una distribuzione “con le code pesanti”; qualcosa di simile, insomma, ad un cammino di Levy, specificamente nel fatto che i valori estremi sono più probabili del normale*.

La strategia vincente, ne ” Il gioco più noioso di sempre ™ ” dipende da come l’avversario distribuisce le risorse nel vostro campo. Nel caso di api e squali, l’avversario è madre natura, e la strategia vincente pare essere proprio il cammino di Levy. Tanto che, un recente studio, mostra che anche i cacciatori-raccoglitori moderni, come gli Hadza, un gruppo etnico del centro della Tanzania, quando cacciano-raccolgono si muovono seguendo questo modello matematico. Per dimostrare ciò, i ricercatori hanno equipaggiato la tribù con orologi da polso dotati di GPS, e hanno monitorato i loro spostamenti quando andavano a caccia di selvaggina o in cerca di tuberi, concludendo che, pur essendo (in teoria) più cognitivamente abili di api o squali (a livello di memoria e di conoscenza pregressa delle risorse), la strategia più efficace per le api è anche quella che seguono i cacciatori raccoglitori. Per la precisione, sia api che squali che esseri umani seguono un modello misto che alterna moto browniano e cammini di Levy.

Gli autori addirittura si sbilanciano e affermano che:
” Our results suggest that scale-invariant, superdiffusive movement profiles are a fundamental feature of human landscape use, regardless of the physical or cultural environment, and may have played an important role in the evolution of human mobility. ”

Cioè che l’ambiente fisico e culturale probabilmente fanno poca differenza, e questo pattern dovrebbe saltare fuori da ogni parte.

Occhio che adesso arriva la parte “speculativa” di questo post, oltre ai videogiocatori chiamati nel titolo.

Uno dei generi più di moda in questi ultimi anni, almeno su PC, sono i  ” sandbox/survival ” cose tipo Minecraft, Terraria, Rust, Starbound, etc. Sono tutti giochi che generano un mondo casualmente, e “costringono” il giocatore ad esplorare, raccogliere risorse per costruire strumenti e in ultimo luogo sopravvivere da vari animali/mostri/altri giocatori aggressivi. Non bisogna essere Wilson, scienziato gentiluomo, per capire dove sto andando a parare: la mia ipotesi è che i giocatori più bravi, istintivamente o perché effettivamente è la strategia più efficiente nel gioco, seguano le passeggiate di Levy nei loro movimenti con i loro personaggi virtuali.

Don’t Starve e Terraria sono gli unici videogiochi di questo genere a che ho provato estensivamente, in realtà. Nel puro interesse della Scienza, eh. 

Non dovrebbe essere una cosa difficile da verificare per qualcuno che si intende di queste cose, ma le mie competenze di programmazione si fermano poco dopo “Hello World” e mi viene difficile, oltre l’aneddotica, portare evidenze a favore di questa ipotesi. Mi vengono naturalmente un sacco di contro-obiezioni che potrebbero nascondere questo pattern (ad esempio, i giochi sopracitati forzano il giocatore a costruirsi un campo base; oppure in quasi tutti le risorse si rigenerano negli stessi punti, rendendo meno necessaria l’esplorazione tanto più un giocatore avanza ed è bravo) ma salvo avere un modo per registrare esattamente i movimenti per poi verificare se effettivamente si conformano ad un modello, non saprei bene come andare a suggellare la mia idea. Facciamo che lo lascio come compito a casa ai lettori più tecnologicamente competenti e intraprendenti (Se ne tirate fuori un grant proposal, mi accontento del secondo nome).

Un’altra idea, tenendo presente che non ho la minima idea di come si programmi una intelligenza artificiale, è guardare quello che fanno i nemici più efficienti. Suppongo che, nella maggior parte dei casi, i giochi “barino”, e, siccome conoscono la posizione del giocatore, la usino per indirizzare creepers/zombie/alienoidi nella sua direzione. Ma sarebbe interessante sapere se in un gioco completamente onesto in cui i mostri sono ignoranti, seguire un cammino di Levy sia più efficiente di altri tipi di cammino casuale. Ho provato a googlare furiosamente nel tentativo di trovare risposte, ma il mio Google-Fu non è stato sufficiente.

Cose tanto diverse quanto un ape, uno squalo ed un uomo usano gli stessi algoritmi di ricerca, o cose che possono essere approssimate tramite il potere della matematica agli stessi algoritmi di ricerca, sono niente altro che il risultato dell’evoluzione, che, pur coi suoi limiti, tende ad ottimizzare tutti i processi. Evoluzione che, per certi versi, può essere essa stessa descritta da una passeggiata aleatoria…

Ma ne parliamo un’altra volta. Adesso devo andare ad uccidere il divoratore di mondi.

Raichlen DA, Wood BM, Gordon AD, Mabulla AZ, Marlowe FW, & Pontzer H (2014). Evidence of Levy walk foraging patterns in human hunter-gatherers. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 111 (2), 728-33 PMID: 24367098

*Ad essere precisi il primo esempio non approssima il moto gaussiano, e il secondo mazzo non è un mazzo di Levy, perché queste due distribuzioni sono continuue, e in ogni caso anche in un cammino di levy i valori medi sono più comuni degli estremi; ma c’è bisogno di esagerazione per far vedere l’effetto sulla simulazione del “gioco più noioso di sempre.” Visivamente, le due distribuzioni di probabilità a confronto sono qualcosa del genere: